Question

一段路基的横断面是直角梯形，如图1所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6．
（1）求DC的长．
（2）现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如图2所示的技术要求，试求出改造后坡面的坡角是多少？（精确到0.1度）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题

专题：

分析：由已知可求EC=40m．在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形ABCD面积=梯形A₁B₁C₁D面积，可再求出EC₁=80（m），即可求出改建后的坡度i=B₁E：EC₁=20：80=1：4．

解答：解：（1）作BE⊥DC于E，得矩形ABED与Rt△BCE．
在Rt△BCE中，∵sinα=

BE

BC

=0.6，BE=AD=30m，
∴BC=

BE

sinα

=50m，
∴EC²=BC²-BE²=50²-30²=1600，
∴EC=40m，
∴DC=DE+EC=20+40=60m；

（2）作B₁E₁⊥D₁C₁于E₁，在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，
则梯形ABCD面积=梯形A₁B₁C₁D面积，
即

1

2

×（20+60）×30=

1

2

×20（20+20+E₁C₁），
解得E₁C₁=80（m），
所以改造后的坡度i=B₁E₁：E₁C₁=20：80=1：4，
∵tan14.0°=0.2493，tan14.1°=0.2511，
∴改造后坡面的坡角约为14.0°．

点评：此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，分析得出梯形ABCD面积=梯形A₁B₁C₁D面积是解题的关键；还要熟悉坡度公式．