题目内容
10．如图△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，C是直线BM上一动点（不与B点重合），把线段AB绕A点逆时针旋转90°得到线段AD，把线段AC绕C点顺时针旋转90°得到CE，连接AE、BD交于G点（1）如图1，记∠BAC=α，点C在直线BM上运动，指出α的位置以及α为多少度时，四点A、B、C、D围成的四边形为平行四边形？
（2）如图2，连CG，求证：CG⊥AE；
（3）点C运动到如图3位置，当DG=$\sqrt{2}$，GE=2$\sqrt{2}$时，请直接写出此时BC的为$\sqrt{7}$-1．
分析 （1）根据已知条件推出△ABC是等腰直角三角形，得到AB=BC，由旋转的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，得到AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，推出AD∥BC，于是得到结论；
（2）由把线段AC绕C点顺时针旋转90°得到CE，得到△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE=45°，推出A，C，B，G四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；
（3）由（2）知，CG⊥AE，得到AG=EG=CG=2$\sqrt{2}$，求得AC=4，过G作GH⊥于H，解直角三角形得到HG=HD=1，根据勾股定理得到AH=$\sqrt{A{G}^{2}-H{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$，然后再根据勾股定理即可得到结论．
解答 解：（1）当α为45°时，四点A、B、C、D围成的四边形为平行四边形，
∵∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵线段AB绕A点逆时针旋转90°得到线段AD，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵把线段AC绕C点顺时针旋转90°得到CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=45°，
∵∠ABD=45°，∠ABC=90°，
∴∠CAG+∠CBG=180°，
∴A，C，B，G四点共圆，
∴∠AGC=∠ABC=90°，
∴CG⊥AE；
（3）由（2）知，CG⊥AE，
∴AG=EG=CG=2$\sqrt{2}$，
∴AC=4，
过G作GH⊥于H，
∵∠D=45°，DG=$\sqrt{2}$，
∴HG=HD=1，
∴AH=$\sqrt{A{G}^{2}-H{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AB=AD=1+$\sqrt{7}$，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{7}$-1，
故答案为：$\sqrt{7}$-1．
点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
轻松暑假总复习系列答案
如图，a、b、c分别是数轴上A、B、C所对应的实数．试化简$\sqrt{c^2}$+|a-b|+$\root{3}{（a+b）^{3}}$+|b-c|．
如图，AB与CD相交于点O，∠EOB=35°，∠AOD=125°，求证CD⊥EO．
如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠A=85°，∠ACE=60°，则∠B=（ ）| A． | 35° | B． | 95° | C． | 85° | D． | 75° |
下列四个三角形中，与图中△ABC的相似的是（ ）| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
