Question

6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE=BC．
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）若∠D=90°，⊙O的半径为5，BC：DC=1：$\sqrt{2}$，求△CBE的周长．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的判定定理证明；
（2）连接AC，设BC=k，根据等腰直角三角形的性质用k表示出AD、DC，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCE，
∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠A=∠BEC，
∴DA=DE，即△ADE是等腰三角形；
（2）连接AC，
设BC=k，则CD=$\sqrt{2}$k，
∵∠D=90°，
∴∠CBE=∠D=90°，又BE=BC，
∴∠E=45°，
∴BE=BC=k，EC=$\sqrt{2}$k，
∴DE=2$\sqrt{2}$k，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{10}$k，
∵⊙O的半径为5，
∴$\sqrt{10}$k=10，
解得，k=$\sqrt{10}$，
∴△CBE的周长为：2$\sqrt{10}$+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键，解答时，注意方程思想的灵活运用．