Question

16．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，DE∥AB，DE交BC于E，交AC于F，DE=BC，∠CDE=∠ACB=30°．
（1）若AB=4，求CD的长．
（2）判断△FCD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明△ACB≌△CDE，得到AC=CD，根据直角三角形的性质求出AC，求出CD；
（2）根据等腰三角形的判定定理证明．

解答 解：（1）在△ACB和△CDE中，∠B=∠DEC=90°，BC=DE，
∠ACB=∠CDE，
在△ACB和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DEC}\\{BC=DE}\\{∠ACB=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△CDE，
∴AC=CD，
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴AC=2AB=8，
∴CD=8；
（2）△FCD是等腰三角形，
理由：∵DE∥AB，∠B=90°，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠CDE=60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ACB=30°，
∴∠CDE=∠DCF，
∴DF=CF，
∴△FCD是等腰三角形．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．