Question

12．在△ABC中，若∠C=90°，AB=5，AC、BC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，求k的值和△ABC的面积．

Answer 1

分析 由一元二次方程的根与系数的关系得出AC+BC=2k+3，AC•BC=k²+3k+2，再由勾股定理得出方程，解方程即可求出k的值，即可得出△ABC的面积．

解答 解：根据题意得：AC+BC=2k+3，AC•BC=k²+3k+2，
∵∠C=90°，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴（AC+BC）²-2AC•BC=25，
即（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
解得：k=2，或k=-5（不合题意，舍去），
∴k=2，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$（2²+3×2+2）=6．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理；熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，根据勾股定理得出方程是解决问题的关键．