Question

3．已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（5，n）关于直线l的对称点为E，求四边形AOEP的面积．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线的解析式，运用配方法求出对称轴和顶点坐标；
（2）根据点P（5，n）在抛物线上，求出点P的坐标，根据抛物线的对称性求出PE的长，根据梯形面积的求法求出四边形AOEP的面积．

解答 解：（1）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{-16+4b+c=0}\\{-1+b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的表达式为：y=-x²+4x，
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴抛物线的对称轴是x=2，和顶点坐标（2，4）；
（2）当x=5时，y=-5，∴点P（5，-5），
∵点P（5，-5）与点E关于x=2对称，∴PE=6，
又∵OA=4，
∴四边形AOEP的面积为：$\frac{1}{2}$（4+6）×5=25．

点评 本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，正确运用待定系数法是解题的关键，注意正确运用配方法求抛物线的对称轴和顶点坐标．