Question

8．已知a=$\frac{1}{2+\sqrt{7}}$，b=$\frac{1}{2-\sqrt{7}}$，求a³-a+b³-b的值．

Answer 1

分析 先利用分母有理化得到a=-$\frac{2-\sqrt{7}}{3}$，b=-$\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，再计算出a+b=-$\frac{4}{3}$，ab=-$\frac{1}{3}$，接着运用因式分解的方法变形得到a³-a+b³-b=（a+b）[（a+b）²-3ab]-（a+b），然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵a=$\frac{1}{2+\sqrt{7}}$，b=$\frac{1}{2-\sqrt{7}}$，
∴a=-$\frac{2-\sqrt{7}}{3}$，b=-$\frac{2+\sqrt{7}}{3}$
∴a+b=-$\frac{4}{3}$，ab=-$\frac{1}{3}$，
∴a³-a+b³-b=（a+b）（a²-ab+b²）-（a+b）
=（a+b）[（a+b）²-3ab]-（a+b）
=-$\frac{4}{3}$×（$\frac{16}{9}$+3×$\frac{1}{3}$）+$\frac{4}{3}$
=-$\frac{64}{27}$．

点评 本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．