Question

9．你可以直接利用结论“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”解决下列问题：
在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，已知∠B=60°，则△ABC共有3条对称轴，∠A=60°，∠C=60°；
（2）如图2，已知∠ABC=60°，点E是△ABC内部一点，连结AE、BE，将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB与AC重合，旋转后得到△ACF，连结EF，当AE=3时，求EF的长度．
（3）如图3，在△ABC中，已知∠BAC=30°，点P是△ABC内部一点，AP=2，点M、N分别在边AB、AC上，△PMN的周长的大小将随着M、N位置的变化而变化，请你画出点M、N，使△PMN的周长最小，要写出画图方法，并直接写出周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用等边三角形的判定与性质得出答案；
（2）利用旋转的性质得出对应线段的关系，进而得出△AEF是等边三角形，得出答案即可；
（3）利用轴对称的性质得出画点P关于边AB的对称点G，画点P关于边AC的对称点H，进而得出△AGH是等边三角形，进而得出答案．

解答 解：（1）如图1，∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴△ABC共有3条对称轴，∠A=60°，∠C=60°，
故答案为：3，60，60；

（2）如图2，∵AB=AC，∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵△ACF是由△ABE绕点A旋转而得到的，且边AB与AC重合
∴∠EAF=∠BAC=60°，AF=AE，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=3；

（3）如图3，画图方法：
①画点P关于边AB的对称点G，
②画点P关于边AC的对称点H，
③连结GH，分别交AB、AC于点M、N，
此时△PMN周长最小．△PMN周长最小值为2．

点评 此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确应用等边三角形的判定与性质是解题关键．