如图.已知A是一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数${y 2}=\frac{m}{x}$的图象的两个交点.过点D作x轴的垂线.分别交双曲线${y 2}=\frac{m}{x}$和直线y1=kx+b于P.Q两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式,(2)当t为何值时.${S {△BPQ}}=\frac{1}{2}{S {△APQ}}$,(3)以PQ为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．如图，已知A（-4，n），B（3，4）是一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数${y_2}=\frac{m}{x}$的图象的两个交点，过点D（t，0）（0＜t＜3）作x轴的垂线，分别交双曲线${y_2}=\frac{m}{x}$和直线y₁=kx+b于P、Q两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当t为何值时，${S_{△BPQ}}=\frac{1}{2}{S_{△APQ}}$；
（3）以PQ为边在直线PQ的右侧作正方形PQMN，试说明：边QM与双曲线${y_2}=\frac{m}{x}$（x＞0）始终有交点．

分析（1）根据点B的坐标求得反比例函数解析式，再根据反比例函数求得点A的坐标，最后根据待定系数法求得一次函数解析式即可；
（2）△APQ与△BPQ有一条公共边，根据同底的三角形的面积之比等于高之比，列出关于t的方程进行求解；
（3）设直线QM与双曲线交于C点，根据点P、Q、C三点的坐标，用t的代数式表示出QM-QC，再根据t的取值范围判断代数式的值的符号即可．

解答解：（1）将B（3，4）代入${y_2}=\frac{m}{x}$，得m=3×4=12，
∴反比例函数解析式为${y}_{2}=\frac{12}{x}$，
将A（-4，n）代入反比例函数，得n=-3，
∴A（-4，-3）
∵直线y₁=kx+b过点A和点B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3=-4k+b}\\{4=3k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=x+1；

（2）如图1，∵PQ⊥x轴，
∴以PQ为底边时，△APQ与△BPQ的面积之比等于PQ边上的高之比，
又∵${S_{△BPQ}}=\frac{1}{2}{S_{△APQ}}$，
∴$\frac{{S}_{△BPQ}}{{S}_{△APQ}}=\frac{1}{2}$，
∵点D（t，0），A（-4，-3），B（3，4），
∴$\frac{\frac{1}{2}×PQ×（3-t）}{\frac{1}{2}×PQ×（t+4）}=\frac{1}{2}$，即$\frac{3-t}{t+4}=\frac{1}{2}$，
解得$t=\frac{2}{3}$；

（3）如图2，设直线QM与双曲线交于C点．
依题意可知：P（t，$\frac{12}{t}$），Q（t，t+1），C（$\frac{12}{t+1}$，t+1），
∴QM=PQ=$\frac{12}{t}-t-1$，QC=$\frac{12}{t+1}-t$，
∴QM-QC=$\frac{12}{t}-t-1-（\frac{12}{t+1}-t）$=$\frac{12}{t（t+1）}-1$，
∵0＜t＜3，
∴0＜t（t+1）＜12，
∴$\frac{12}{t（t+1）}$＞1，
即QM-QC＞0，
∴QM＞QC，
即边QM与双曲线${y_2}=\frac{m}{x}$始终有交点．