Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，经过点的直线：与轴交于点，与抛物线的另一个交点为．

（1）则点的坐标为__________，点的坐标为__________，抛物线的对称轴为__________；

（2）点是直线下方抛物线上的一点，当时．求面积的最大值；

（3）设为抛物线对称轴上一点，点在抛物线上，若以点、、、为顶点的四边形为矩形，求的值．

Answer 1

【答案】（1），，抛物线的对称轴是：直线；（2）当时，面积的最大值为；（3）当点、、、为顶点的四边形为矩形时，的值为，

【解析】

（1）利用抛物线与轴交点的纵坐标为，列方程直接求解，利用抛物线的对称轴公式直接求对称轴方程；

（2）过点作轴交直线于点，利用，建立面积与的横坐标的函数，利用函数的性质求最大值；

（3）分别以为边与对角线进行讨论，利用矩形的性质与抛物线的性质及平移的特点求解的坐标，再利用函数知识或三角函数或相似建立方程即可得到答案．

解（1）令，得，

因为：，所以，

所以：，

，，

抛物线的对称轴是：直线；

（2）过点作轴交直线于点，如图1，

∵，∴抛物线的解析式为， 直线的解析式为

设点，则

∴

∵，∴当时，面积的最大值为．

图1

（3）联立：，得，

∴点

①若点、、、为顶点的矩形中，

过点作轴，过点作于点如图2，

则，，，

∴，则点的坐标为，

由平移得，点的坐标为，

∴，

∴，∴（负值合去）

图2

②若矩形中为对角线，∵，，

由，

则由平移可得：点的坐标为，

过点作轴，点作轴，

过点作于点，交于点，如图3，

则，

，，

∴，∴（负值舍去）

∴当点、、、为顶点的四边形为矩形时，的值为，．