Question

14．如图，A、B、C为⊙O上的点，PC过O点，交⊙O于D点，PD=OD，若OB⊥AC于E点．
（1）判断A是否是PB的中点，并说明理由；
（2）若⊙O半径为8，试求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由CD是⊙O的直径，得到AD⊥AC，推出AD∥OB，根据平行线等分线段定理得到PA=AB；
（2）根据相似三角形的性质得到OB=8，求得AD=4，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{C{D}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{15}$，根据垂径定理得到AE=CE=2$\sqrt{15}$，由勾股定理即可得到结论

解答 解：（1）A是PB的中点，
理由：连接AD，
∵CD是⊙O的直径，
∴AD⊥AC，
∵OB⊥AC，
∴AD∥OB，
∵PD=OD，
∴PA=AB，
∴A是PB的中点；

（2）∵AD∥OB，
∴△APD∽△BPO，
∴$\frac{AD}{OB}=\frac{PD}{OP}=\frac{1}{2}$，
∵⊙O半径为8，
∴OB=8，
∴AD=4，
∴AC=$\sqrt{C{D}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{15}$，
∵OB⊥AC，
∴AE=CE=2$\sqrt{15}$，
∵OE=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴BE=6，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．