Question

9．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（2，0），在第一象限内的点C，使△ABC为面积最小的等腰直角三角形，则点C的坐标为（3，3），最小面积为5．

Answer 1

分析 分别从当∠ABC=90°，AB=BC时，当∠BAC=90°，AB=AC时与当∠ACB=90°，AC=BC时去分析求解，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标和三角形的面积．

解答 解：当∠ACB=90°，AC=BC时，
过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E．
∵∠BCA=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB=90°}\\{∠ACD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（AAS），
∴CD=CE=OE，AD=BE，
∵AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{10}$，
∵CE²+（CE-2）²=AC²=10，
解得CE=3或-1（不合题意舍去）．
则点C坐标为（3，3），
∴S_△ABC=S_{正方形OECD}-S_△ABO=3×3-$\frac{1}{2}×2×4$=5．
故答案为：（3，3），5．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．