Question

3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，EF过AC的中点O，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若直线EF绕点O旋转，与AD，BC分别相交于点E′，F′，仍有OE′=OF′吗？为什么？
（3）EF绕点O旋转到何处时，线段EF最小？

Answer 1

分析 （1）通过证明△AOE≌△COF得到OE=OF；
（2）与（1）证明方法一样可证明△AOE′≌△COF′，从而得到OE′=OF′；
（3）当EF等于两平行线间的距离时，即EF绕点O旋转到EF与AD垂直时，EF最小．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
∵点O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF；
（2）解：仍有OE′=OF′．理由如下：
与（1）的证明方法一样可证明△AOE′≌△COF′，
所以OE′=OF′；
（3）EF绕点O旋转到EF⊥AD时，线段EF最小．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质．