Question

13．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=AD=4，AD∥BC，由ASA证明△ABE≌△DAF即可；
（2）由平行线的性质得出∠1=∠AGB=30°，得出∠4=60°，得出∠1=∠2=30°，∠3=∠4=60°，证出∠AFD=∠AEB=90°，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=2，AE=2，得出AF=2$\sqrt{3}$，即可求出EF的长．．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD=4，AD∥BC，
在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}&{\;}\\{AB=DA}&{\;}\\{∠4=∠3}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF；
（2）解：∵AD∥BG，
∴∠1=∠AGB=30°，
∴∠4=90°-30°=60°，
∴∠1=∠2=30°，∠3=∠4=60°，
∴∠AFD=∠AEB=90°，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD=2，AE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AF=$\sqrt{3}$DF=2$\sqrt{3}$，
∴EF=AF-AE=2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．