Question

如图，抛物线y₁=

1

2

x²-2x-6与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）将抛物线y₁向左平移1个单位，再向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线y₂，若抛物线y₂的顶点在△ABC内，则m的取值范围为

 

；
（2）在（1）的结论下，若抛物线y₂上存在点Q，使得△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）首先根据平移确定平移后的函数的解析式，然后确定点P的坐标，然后求得点C的坐标，从而利用待定系数法确定直线AC的解析式，然后确定m的取值范围即可；
（2）求出AB中点，过此点且垂直于AB的直线在x=1的交点应该为顶点P的临界点，顶点P继续向上移动，不存在Q点，向下存在两个点P．

解答：解：（1）y=

1

2

x²-2x-6=

1

2

（x-2）²-8，
故抛物线的顶点坐标为（2，-8），
将求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y₁=

1

2

（x-2+1）²-8+m，
故P（1，-8+m），
在抛物线y=

1

2

x²-2x-6中易得C（0，-6），
当0=

1

2

x²-2x-6
解得：x₁=-2，x₂=6，
故B（6，0），
可得直线BC为y₂=x-6，
当x=1时，y₂=-5，
故-5＜-8+m＜0，
解得：3＜m＜8；
故答案为：3＜m＜8；

（2）∵C（0，-6），A（-2，0），
∴线段AC的中点坐标为（-1，-3），直线AC的解析式为y=-3x-6，
∴过AC的中点且与AC垂直的直线的解析式为：y=

1

3

x-

8

3

，
∴直线y=

1

3

x-

8

3

与y=

1

2

（x-1）²-8+m有交点，
联立方程，求得判别式为：
△=64-12（6m-29）≥0
解得：m≤

103

18

故①当3＜m＜

103

18

时，存在两个Q点，可作出两个等腰三角形；      
②当m=

103

18

时，存在一个点Q，可作出一个等腰三角形；
③当

103

18

＜m＜8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形，
综上所述：使得△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则m的取值范围为3＜m≤

103

18

．
故答案为：3＜m≤

103

18

．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中还渗透了分类讨论的数学思想，这也是中考中常常出现的重要的数学思想，应加强此类题目的训练．