Question

6．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF=∠A，EF与BD相交于点M，以下结论：①△BDE是等腰三角形；②四边形AFED是菱形；③BE=AF；④若AF：BF=3：4，则△DEM的面积：△BAD的面积=9：49，以上结论正确的是（　　）

• A． ①②③④
• B． ①③④
• C． ①③
• D． ③④

Answer 1

分析 根据角平分线的性质得到∠DBE=∠ABD，根据平行线的性质得到∠ABD=∠BDE，等量代换得到∠DBE=∠BDE，于是得到△BDE是等腰三角形，故①正确；根据平行线的性质得到∠BAC+∠ADE=180°，得到EF∥AD，证得四边形ADEF为平行四边形，故②错误；等量代换得到BE=AF；故③正确；如图，连接DF，根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△DEM}}{{S}_{△BFM}}$=（$\frac{DE}{BF}$）²=$\frac{9}{16}$，$\frac{EM}{FM}=\frac{DE}{BF}$=$\frac{3}{4}$，根据图象面积的和差得到△DEM的面积：△BAD的面积=9：49，故④正确．

解答 证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBE=∠ABD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰三角形，故①正确；
∵DE∥AB，
∴∠BAC+∠ADE=180°，
∵∠DEF=∠BAC，
∴∠DEF+∠ADE=180°，
∴EF∥AD，
∴四边形ADEF为平行四边形，故②错误；
∴AF=DE，
∴BE=AF；故③正确；
如图，连接DF，
∵DE∥AB，
∴△DEM∽△BFM，
∴$\frac{{S}_{△DEM}}{{S}_{△BFM}}$=（$\frac{DE}{BF}$）²，
∵DE=AF，AF：BF=3：4，
∴$\frac{{S}_{△DEM}}{{S}_{△BFM}}$=（$\frac{DE}{BF}$）²=$\frac{9}{16}$，$\frac{EM}{FM}=\frac{DE}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△DFM}}{{S}_{△DEM}}$=$\frac{4}{3}$，
∴S_{四边形AFMD}=$\frac{11}{3}$S_△DEM，S_△BFM=$\frac{16}{9}$S_△DEM，
∴△DEM的面积：△BAD的面积=9：49，故④正确，
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．解决本题的关键是灵活应用平行线分线段成比例定理．