Question

【题目】已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm，如图2，△DEF从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：

（1）用含t的代数式表示线段AP＝　 　；

（2）当t为何值时，点E在∠A的平分线上？

（3）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（4）连接PE，当t＝1（s）时，求四边形APEC的面积．

Answer 1

【答案】（1）（10﹣2t）cm．（2）；（3）t＝2；（4）20

【解析】

（1）利用勾股定理求出AB，根据AP＝AB﹣BP计算即可．

（2）如图1中，作AT平分∠BAC，作TH⊥AB于H．设TC＝TH＝x，证明Rt△ATH≌Rt△ATC（HL），推出AH＝AC＝8，在Rt△BTH中，则有（6﹣x）2＝22+x2，求出x即可解决问题．

（3）根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，根据等腰三角形的性质得到CE＝CQ，根据勾股定理求出AB，列式计算即可．

（4）作PM⊥BE交BE于M，根据S四边形APEC＝S△ABC﹣S△BPE计算算即可．

（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，

∴AB＝＝＝10（cm），

由题意PA＝AB﹣BP＝（10﹣2t）cm，

故答案为（10﹣2t）cm．

（2）如图1中，作AT平分∠BAC，作TH⊥AB于H．

∵TC⊥AC，TH⊥AB，TA平分∠ABC，

∴TC＝TH，∠AHT＝∠ACT＝90°，设TC＝TH＝x，

∵AT＝AT，

∴Rt△ATH≌Rt△ATC（HL），

∴AH＝AC＝8，

∴BH＝AB﹣AH＝10﹣8＝2，

在Rt△BTH中，则有（6﹣x）2＝22+x2，

解得x＝，

∴当t为时，点E在∠A的平分线上．

（3）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

∴AP＝AQ，

∵∠DEF＝45°，∠ACB＝90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC＝180°，

∴∠EQC＝45°，

∴∠DEF＝∠EQC，

∴CE＝CQ，

由题意知：CE＝t，BP＝2t，

∴CQ＝t，

∴AQ＝8﹣t，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝10cm，

则AP＝10﹣2t，

∴10﹣2t＝8﹣t，

解得：t＝2，

答：当t＝2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；

（4）如图2中，过P作PM⊥BE，交BE于M，

∴∠BMP＝90°，

在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB＝＝，

∴＝，

解得，PM＝，

∵BC＝6cm，CE＝t，

∴BE＝6﹣1＝5，

∴S四边形APEC＝S△ABC﹣S△BPE＝×BC×AC﹣×BE×PM＝×6×8﹣×5×＝20．