Question

15．如图，用两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分为四边形ABCD，它是一个特殊的四边形．
（1）四边形ABCD是菱形；
（2）请证明你的上述判断；
（3）若两张纸条的宽都是5cm，夹角∠DAB=66°，求四边形ABCD的面积（已知sin66°≈0.9135，可以使用科学计算器，结果精确到0.01cm²）

Answer 1

分析 （1）四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同，证RT△DAE≌RT△CDF，可知AD=DC，即可得证；
（3）在RT△ADE中，由三角函数求得DE的长，再根据平行四边形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）四边形ABCD是菱形，
故答案为：菱；

（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，

则DE=DF，
由题意得：AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
在RT△DAE和RT△CDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠BCD}\\{∠DEA=∠DFC=90°}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴RT△DAE≌RT△CDF（AAS），
∴AD=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．

（3）由已知条件，在RT△ADE中，∠DAE=66°，DE=5cm，
∴AD=$\frac{DE}{sin∠DAE}$=$\frac{5}{sin66°}$≈$\frac{5}{0.9135}$≈5.473，
∴S_{四边形ABCD}=AD•DF=5.473×5=27.365≈27.37（cm²），
答：四边形ABCD的面积约为27.37cm²．

点评 本题考查了解直角三角形的应用、菱形的判定、平行四边形的判定、菱形面积的计算；通过证明三角形全等得临边相等是判定菱形的关键．