Question

15．如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若DF=3$\sqrt{5}$，cosA=$\frac{2}{3}$，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连结OD、BD，先根据圆周角定理得到∠BDC=90°，再根据等腰三角形的性质得到AD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，所以OD∥AB，加上DE⊥AB，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理得ED是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质由AB=AC得到∠A=∠C，在Rt△CFD中利用余弦定理得到cosC=$\frac{CF}{CD}$=cosA=$\frac{2}{3}$，则可设CF=2x，CD=3x，利用勾股定理得到DF=$\sqrt{5}$x，所以$\sqrt{5}$x=3$\sqrt{5}$，解得x=3，于是计算出CD=9，然后在Rt△BCD中利用余弦的定义计算出BC的长即可．

解答 （1）证明：连结OD、BD，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥AC，
而BA=BC，
∴AD=CD，
而OB=OC，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：∵AB=AC，
∴∠A=∠C，
在Rt△CFD中，cosC=$\frac{CF}{CD}$=cosA=$\frac{2}{3}$，
设CF=2x，CD=3x，
∴DF=$\sqrt{（3x）^{2}-（2x）^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=3$\sqrt{5}$，解得x=3，
∴CD=9，
在Rt△BCD中，∵cosC=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴BC=$\frac{3}{2}$×9=$\frac{27}{2}$，
即⊙O的直径为$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．