Question

如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是CD的中点，AE的延长线交BC于点F，FG⊥AB于点G，求证：FG²=FC•FB．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长AC，GF相交于点H，可得到△HCF∽△BGF，由相似的性质得到

CF

FG

=

HF

BF

，即CF•BF=FG•HF，然后只要证明FG=HF即可．

解答：证明：延长AC，GF相交于点H，
∵FG⊥AB（已知）
∴∠FGB=90°（垂直的定义）
∵∠ACB=90°（已知）
∴∠FGB=∠ACB（等量代换）
∵∠1=∠2（对顶角相等）
∴△HCF∽△BGF（两角对应相等的两个三角形相似）
∴

CF

FG

=

HF

BF

（相似三角形对应边成比例）
即CF•BF=FG•HF（比例的基本性质）
∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知）
∴∠4=∠5=90°（垂直的定义）
∴CD∥HG（同位角相等，两直线平行）
∴∠3=∠H（两直线平行，同位角相等）
∵∠3=∠H，∠6=∠6
∴△ACE∽△AHF（两角对应相等的两个三角形相似）
∴

AE

AF

=

CE

FH

（相似三角形对应边成比例）
∵∠4=∠5，∠7=∠7
∴△AED∽△AFG（两角对应相等的两个三角形相似）
∴

AE

AF

=

DE

GF

（相似三角形对应边成比例）
∴

CE

FH

=

DE

FG

（等量代换）
∵E是CD的中点（已知）
∴CE=DE（中点的定义）
∴FH=FG
∵CF•BF=FG•HF（已证）
∴CF•BF=FG•FG
 即FG²=FC•FB．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定方法与性质，通过作辅助线证明三角形全等，由全等三角形的对应边成比例，列出比例式，进而得出结论．