Question

2．在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC的外接圆的半径为5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 分成△ABC是锐角三角形的钝角三角形两种情况进行讨论，作AD⊥BC于点D，则AD一定经过点圆心O，利用垂径定理和勾股定理求得OD的长，则AD即可求得，根据三角形的面积公式求解．

解答 解：当△ABC是锐角三角形时，如图1．
作AD⊥BC于点D，则AD一定经过点圆心O，连接OB．
在直角△OBD中，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，则OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{3}}$=4．
则AD=OA+OD=5+4=9，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×6×9=27；
当△ABC是钝角三角形时，如图2．
同理，OD=4，则AD=OA-OD=5-4=1，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×6×1=3．

点评 本题考查了三角形的外接圆，以及垂径定理的应用，注意到分两种情况讨论是关键．