Question

已知二次函数y=-x²+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，
（1）求二次函数解析式；
（2）若

S△AOB

S△BOC

=

1

3

，求k；
（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）由对称轴为x=-

b

2a

，且函数过（0，0），则可推出b，c，进而得函数解析式．
（2）

S△AOB

S△BOC

=

1

3

，且两三角形为同高不同底的三角形，易得

AB

BC

=

1

3

，考虑计算方便可作B，C对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为

AB

AC

=

1

4

．由B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得．
（3）以BC为直径的圆经过原点，即∠BOC=90°，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解k．可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易证△EBO∽△FOC，即EB•FC=EO•FO．有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k值．

解答：解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，
∴-

b

2•(-1)

=2，0=0+0+c，
∴b=4，c=0，
∴y=-x²+4x．

（2）如图1，连接OB，OC，过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，

∵

S△AOB

S△BOC

=

1

3

，
∴

AB

BC

=

1

3

，
∴

AB

AC

=

1

4

，
∵EB∥FC，
∴

EB

FC

=

AB

AC

=

1

4

．
∵y=kx+4交y=-x²+4x于B，C，
∴kx+4=-x²+4x，即x²+（k-4）x+4=0，
∴△=（k-4）²-4•4=k²-8k，
∴x=

(4-k)- k2-8k

2

，或x=

(4-k)+ k2-8k

2

，
∵x_B＜x_C，
∴EB=x_B=

(4-k)- k2-8k

2

，FC=x_C=

(4-k)+ k2-8k

2

，
∴4•

(4-k)- k2-8k

2

=

(4-k)+ k2-8k

2

，
解得 k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=-1．
∴k=-1．

（3）∵∠BOC=90°，
∴∠EOB+∠FOC=90°，
∵∠EOB+∠EBO=90°，
∴∠EBO=∠FOC，
∵∠BEO=∠OFC=90°，
∴△EBO∽△FOC，
∴

EB

EO

=

FO

FC

，
∴EB•FC=EO•FO．
∵x_B=

(4-k)- k2-8k

2

，x_C=

(4-k)+ k2-8k

2

，且B、C过y=kx+4，
∴y_B=k•

(4-k)- k2-8k

2

+4，y_C=k•

(4-k)+ k2-8k

2

+4，
∴EO=y_B=k•

(4-k)- k2-8k

2

+4，OF=-y_C=-k•

(4-k)+ k2-8k

2

-4，
∴

(4-k)- k2-8k

2

•

(4-k)+ k2-8k

2

=（k•

(4-k)- k2-8k

2

+4）•（-k•

(4-k)+ k2-8k

2

-4），
整理得 16k=-20，
∴k=-

5

4

．

点评：本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识．题目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考生应好好理解掌握．