Question

7．如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF=$\sqrt{2}$AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．

解答 解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵BE⊥DP，
∴∠ABE+∠BPE=90°，
又∵∠ADF+∠APD=90°，∠BPE=∠APD，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ADF}\\{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$AF；故①正确；
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，
在△ABM和△FBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=FM}\\{∠AMB=∠FMB}\\{BM=BM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△FBM（SAS），
∴AB=BF，故②正确；
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
在△BEF和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠EBF=∠FDC}\\{BF=DC}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DFC（SAS），
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
故④正确；
∴CF⊥DE，
∵BE⊥DP，
∴CF∥BE；故③正确．
故选D．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．