Question

如图，已知Rt△ADC中，∠D=90°，以AD为直径的⊙O交斜边AC于F，OE∥AC，交DC于E．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）求证：2EF²=CF•OE．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接OF、DF交OE于点G，在△ODF和△EFD中，利用等边对等角证明∠ODF=∠OFD，∠EDF=∠EFD，则∠OFE=∠ODC=90°，从而证得；
（2）利用切割线定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用CD分别表示出2EF²和CF•OE，即可证得．

解答：证明：（1）连接OF、DF交OE于点G．
∵AD是圆的直径，
∴∠AFD=90°，即∠DF⊥AC，
又∵OE∥AC，
∴OE⊥DF，
又∵OD=OF，
∴DG=GF，∠ODF=∠OFD，
∴DE=EF，
∴∠EDF=∠EFD，
∴∠OFE=∠ODC=90°，
∴OF⊥EF，则EF是圆的切线；
（2）证明：∵O是AB的中点，OE∥AC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=

1

2

AC，即AC=2OE，
又∵CD是圆的切线，
∴CD²=CF•AC=2CF•OE，即CF•OE=

1

2

CD²．
∵在直角△DFC中，E是CD的中点，
∴EF=

1

2

CD，即CD=2EF，
∴2EF²=

1

2

CD²，
∴2EF²=CF•OE．

点评：本题考查了切线的判定定理、切割线定理和直角三角形的性质定理，利用CD分别表示出2EF²和CF•OE是关键．