Question

13．如图，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且△BOD的面积S_△BOD=4．
（1）求直线AO的解析式；    
（2）求反比例函数解析式；
（3）求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意确定A点坐标，然后设直线AO的解析式为y=kx，再把A点坐标代入可得k的值，进而可得函数解析式；
（2）根据△BOD的面积S_△BOD=4可得D点坐标，再把D点坐标代入y=$\frac{k}{x}$可得k的值，进而可得函数解析式；
（3）点C是正比例函数和反比例函数的交点，联立两个函数解析式，然后再解可得C点坐标．

解答 解：（1）∵OB=4，AB=8，∠ABO=90°，
∴A点坐标为（4，8），
设直线AO的解析式为y=kx，
则4k=8，解得k=2，
即直线AO的解析式为y=2x；

（2）∵OB=4，S_△BOD=4，∠ABO=90°，
∴D点坐标为（4，2），
点D（4，2）代入y=$\frac{k}{x}$，
则2=$\frac{k}{4}$，解得k=8，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$；
（3）直线y=2x与反比例函数y=$\frac{8}{x}$构成方程组为$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-4}\end{array}\right.$（舍去），
∴C点坐标为（2，4）．

点评 此题主要考查了待定系数法求正比例和反比例函数解析式，以及两函数图象交点问题，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．