Question

14．在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为BC、AC的中点，AD与BE相交于点O，若AC=4，BC=2，则△ODE的周长为$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{17}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，由D、E分别为BC、AC的中点，可得DE∥AB，即可证得△ODE∽△OAB，然后利用相似三角形的对应边成比例，求的各边的长，继而求得答案．

解答 解：如图，∵D、E分别为BC、AC的中点，
∴DE∥AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴OD：OA=OE：OB=DE：AB=1：2，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{17}$，BE=$\sqrt{C{E}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{5}$，OD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，OE=$\frac{1}{3}$BE=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴△ODE的周长为：$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{17}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{17}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 此题考查了相似三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．