Question

18．如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接BO，根据△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO=90°，进而得出BE是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中，根据∠ACB=30°，BC=3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影部分的面积．

解答 解：（1）如图所示，连接BO，
∵∠ACB=30°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵DE⊥AC，CB=BD，
∴Rt△DCE中，BE=$\frac{1}{2}$CD=BC，
∴∠BEC=∠BCE=30°，
∴△BCE中，∠EBC=180°-∠BEC-∠BCE=120°，
∴∠EBO=∠EBC-∠OBC=120°-30°=90°，
∴BE是⊙O的切线；

（2）当BE=3时，BC=3，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ACB=30°，
∴AB=tan30°×BC=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AB=2$\sqrt{3}$，AO=$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=半圆的面积-Rt△ABC的面积=$\frac{1}{2}$π×AO²-$\frac{1}{2}$AB×BC=$\frac{1}{2}$π×3-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3=$\frac{3}{2}π$-$\frac{3}{2}\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．