Question

8．二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的x与y的部分对应值如下表：

有下列结论：
①a＞0；
②4a-2b+1＞0；
③x=-3是关于x的一元二次方程ax²+（b-1）x+c=0的一个根；
④当-3≤x≤n时，ax²+（b-1）x+c≥0．其中正确结论的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根据表中x与y的部分对应值画出抛物线的草图，由开口方向即可判断①，由对称轴x=-1可得b=2a，代入4a-2b+1可判断②，根据直线y=x过点（-3，-3）、（n，n）可知直线y=x与抛物线y=ax²+bx+c交于点（-3，-3）、（n，n），即可判断③，根据直线y=x与抛物线在坐标系中位置可判断④．

解答 解：根据表中x与y的部分对应值，画图如下：

由抛物线开口向上，得a＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为x=$\frac{-3+1}{2}$=-1，即-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b=2a，
则4a-2b+1=4a-4a+1=1＞0，故②正确；
∵直线y=x过点（-3，-3）、（n，n），
∴直线y=x与抛物线y=ax²+bx+c交于点（-3，-3）、（n，n），
即x=-3和x=n是方程ax²+bx+c=x，即ax²+（b-1）x+c=0的两个实数根，故③正确；
由图象可知当-3≤x≤n时，直线y=x位于抛物线y=ax²+bx+c上方，
∴x≥ax²+bx+c，
∴ax²+（b-1）x+c≤0，故④错误；
故选：B．

点评 本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与直线交点、一元二次方程的解，根据表中数据画出二次函数图象的草图是解题的前提，熟练掌握抛物线与直线、抛物线与一元二次方程间的关系是解题的关键．