Question

17．如图所示，一块直角三角板ABC，∠ACB=90°，将直角三角板绕着顶点B顺时针旋转60°使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置，点F、G分别是BD、BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）判断△ABE的形状；
（3）求出∠FHG的度数．

Answer 1

分析 （1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）由旋转直接∠ABE=60°，BA=BE，从而得出△ABE是等边三角形；
（3）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解

解答 （1）证明：∵在△CBF和△DBG中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BD}\\{∠CBF=∠DBG}\\{BF=BG}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△DBG（SAS），
∴CF=DG；
（2）△ABE是等边三角形，

理由：如图，连接AE，
∵直角三角板ABC绕着顶点B顺时针旋转60°使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置，
∴∠ABE=60°，BA=BE，
∴△ABE是等边三角形；
（3）解：由（1）△CBF≌△DBG，
∴∠BCF=∠BDG，
又∵∠CFB=∠DFH，
又∵△BCF中，∠CBF=180°-∠BCF-∠CFB，
△DHF中，∠DHF=180°-∠BDG-∠DFH，
∴∠DHF=∠CBF=60°，
∴∠FHG=180°-∠DHF=180°-60°=120°

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和，解本题的关键是判断出△CBF≌△DBG．