Question

13．如图所示，在小山顶上有一座信号发射塔MN，在山坡坡脚A处测得塔尖点N的仰角为45°，某人沿坡度为i=1：$\sqrt{3}$坡面上山，行走200米到B处，测得塔尖点N的仰角为60°，已知A，B，M在同一条直线上，求：
（1）求点B处的垂直高度；
（2）求发射塔MN的高度．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）根据AB的长和坡度，利用锐角三角函数可以求得点B处的垂直高度；
（2）作出合适的辅助线，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可求得发射塔MN的高度．

解答 解：（1）作BD⊥AC于点D，
∵坡度i=1：$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAD=30°，
∵AB=200米，
∴BD=AB•sin30°=200×$\frac{1}{2}$=100米，
答：点B处的垂直高度是100米；
（2）作BE∥AC交NM的延长线于点E，
由题意可得，
∠NAC=45°，∠NBE=60°，
∵∠BAD=30°，
∴∠NAB=15°，∠BNE=30°，∠ANE=45°，
∴∠NAB=∠ANB=15°，
∴AB=BN，
∴BN=200，
∴BE=BN•sin∠BNE=100，NE=BN•cos∠BNE=100$\sqrt{3}$，
∴ME=BE•tan∠MBE=100×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{100\sqrt{3}}{3}$，
∴MN=NE-ME=100$\sqrt{3}$-$\frac{100\sqrt{3}}{3}$=$\frac{200\sqrt{3}}{3}$，
答：发射塔MN的高度是$\frac{200\sqrt{3}}{3}$米．

点评 本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．