Question

8．如图．在Rt△ABC中．∠ACB=90°．∠ABC=30°，AB=6．点D是BC边上一动点，连接AD．将△ACD沿AD折叠．点C落在点C₁处．连接C₁B．若△BDC₁为直角三角形．则BD=2$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论：当点C₁在AB上时，△BDC₁为直角三角形；当∠ADC=45°时，△BDC₁为直角三角形，分别根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理进行计算即可．

解答 解：如图所示，当点C₁在AB上时，∠AC₁D=∠C=90°，

∴∠BC₁D=90°，即△BDC₁为直角三角形，
∵∠ABC=30°，AB=6，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=3，BD₁=2DC₁=2CD，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴BD=$\frac{2}{3}$BC=2$\sqrt{3}$；
如图所示，当∠ADC=45°时，∠CDC₁=90°，此时△BDC₁为直角三角形，

∵∠C=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD=AC=3，
而BC=3$\sqrt{3}$，
∴BD=BC-CD=3$\sqrt{3}$-3．
故答案为：2$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$-3．

点评 本题主要考查了折叠问题以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．