Question

【题目】如图，点D为圆O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CAD＝∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CB＝3，CD＝9，求ED的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）ED＝36.

【解析】

（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDB+∠BDO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据切线长定理求出AC，进而求得OC和OD，根据证得OCD∽△ECA，得到，求出EC，即可求得ED的长．

（1）证明：连接OD，

∵OD＝OB，

∴∠DBA＝∠BDO，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB+∠DBA＝90°，

∵∠CDB＝∠CAD，

∴∠CDB+∠BDO＝90°，

即OD⊥CE，

∵D为⊙O的一点，

∴直线CD是⊙O的切线；

（2）∵CD是⊙O的切线，

∴CD2＝BCAC，

∵CB＝3，CD＝9，

∴92＝3AC，

∴AC＝27，

∴AB＝AC﹣BC＝27﹣3＝24，

∵AB是圆O的直径，

∴OD＝OB＝12，

∴OC＝OB+BC＝15，

∵过点A作的⊙O切线交CD的延长线于点E，

∴EA⊥AC，

∵OD⊥CE，

∴∠ODC＝∠EAC＝90°，

∵∠OCD＝∠ECA，

∴△OCD∽△ECA，

∴，即，

∴EC＝45，

∴ED＝EC﹣CD＝45﹣9＝36．