Question

4．市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价（x）元之间的关系可近似地看做一次函数y=-10x+500．
（1）设小明每月获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果小明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于35元，如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最多需要多少元？（成本=进价×销售量）

Answer 1

分析 （1）根据利润=每件的利润×销售量，构建二次函数利用配方法确定最大值．
（2）利用（1）中的结果，列出方程即可解决问题．
（3）利用一次函数的增减性，即可解决问题．

解答 （1）解：W=（-10x+500）（x-20）
=-10x²+700x-10000
=-10（x-35）²+2250
∴当x=35时，每月可获得最大利润2250元

（2）-10（x-35）²+2250=2000
得x₁=30，x₂=40
∴当销售价定为30或40元时，小明每月获得2000元利润．

（3）y=-10x+500
∵-10＜0，∴y随x的增大而减小
∴当x取30时，成本最多
即成本=20×（-10×30+500）
=20×200
=4000（元）

点评 本题考查二次函数、一次函数的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是搞清楚利润、销售量、进价、销售价之间的关系，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．