Question

8．（1）由x²-3x+1=0，易知x≠0，将等式的两边都除以x，你会求出x+$\frac{1}{x}$的值吗？试试看；
（2）若x²-3x+1=0，那么（x+$\frac{1}{x}$）²的值是多少？
（3）若x²-3x+1=0，你能求出x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值吗？请探究．

Answer 1

分析 （1）由x²-3x+1=0，易知x≠0，根据等式的性质，将等式的两边都除以x，即可得到x+$\frac{1}{x}$=3；
（2）将求得的x+$\frac{1}{x}$=3代入代数式直接计算即可；
（3）根据“x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2”直接求解即可．

解答 解：（1）∵x²-3x+1=0，
∴x≠0，
将等式的两边都除以x，
得：x-3+$\frac{1}{x}$=0，
即x+$\frac{1}{x}$=3；

（2）由（1）得：x+$\frac{1}{x}$=3，
故（x+$\frac{1}{x}$）²=3²=9；

（3）能求；
x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2=9-2=7．

点评 本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时考查了等式的性质，得到x≠0是解题的关键．