Question

9．已知：在△ABC中，AD是∠A的平分线，△ABC的内心为I，求证：AI：ID=（AB+AC）：BC．

Answer 1

分析 连结CI，如图，根据角平分线的性质定理，由AD是∠A的平分线得到$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$，再利用比例的性质得$\frac{AB+AC}{BC}$=$\frac{AC}{CD}$，接着根据三角形内心性质得到CI平分∠ACD，则利用角平分线的性质定理得到$\frac{AC}{CD}$=$\frac{AI}{ID}$，然后根据等量代换得到结论．

解答 证明：连结CI，如图，
∵AD是∠A的平分线，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{AB+AC}{AC}$=$\frac{BD+CD}{CD}$=$\frac{BC}{CD}$，
∴$\frac{AB+AC}{BC}$=$\frac{AC}{CD}$，
∵△ABC的内心为I，
∴CI平分∠ACD，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{AI}{ID}$，
∴$\frac{AI}{ID}$=$\frac{AB+AC}{BC}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．熟练掌握角平分线的性质和比例的性质是解决此题的关键．