题目内容
2．
综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
分析 （1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标．
（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为-4，令y=-4即可解决问题．
（3））①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，求出点M、H的坐标即可解决问题．②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形，先证明CE∥PQ，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．
解答 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-8=0}\\{36a+6b-8=-8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-3x-8，
∵y=$\frac{1}{2}$x2-3x-8=$\frac{1}{2}$（x-3）2-$\frac{25}{2}$，
∴抛物线对称轴为直线x=3，
又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（-2，0），
∴点B坐标（8，0）．
设直线l的解析式为y=kx，
∵经过点D（6，-8），
∴6k=-8，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
∴直线l的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x，
∵点E为直线l与抛物线的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为-$\frac{4}{3}$×3=-4，
∴点E坐标（3，-4）．
（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，
此时点F纵坐标为-4，
∴$\frac{1}{2}$x2-3x-8=-4，
∴x2-6x-8=0，
x=3$±\sqrt{17}$，
∴点F坐标（3+$\sqrt{17}$，-4）或（3-$\sqrt{17}$，-4）．
（3）①如图1
中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．
∵点E坐标（3，-4），
∴OE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则$\frac{OM}{OP}$=$\frac{OE}{OQ}$，
∴OM=OE=5，
∴点M坐标（0，-5）．
设直线ME的解析式为y=k1x-5，
∴3k1-5=-4，
∴k1=$\frac{1}{3}$，
∴直线ME解析式为y=$\frac{1}{3}$x-5，
令y=0，得$\frac{1}{3}$x-5=0，解得x=15，
∴点H坐标（15，0），
∵MH∥PB，
∴$\frac{OP}{OM}$=$\frac{OB}{OH}$，即$\frac{-m}{5}$=$\frac{8}{15}$，
∴m=-$\frac{8}{3}$，
②如图2
中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．
∵当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x2-3x-8=-8，
∴点C坐标（0，-8），
∴CE=$\sqrt{{3}^{2}+（8-4）^{2}}$=5，
∴OE=CE，
∴∠1=∠2，
∵QO=QP，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CE∥PB，
设直线CE交x轴于N，解析式为y=k2x-8，
∴3k2-8=-4，
∴k2=$\frac{4}{3}$，
∴直线CE解析式为y=$\frac{4}{3}$x-8，
令y=0，得$\frac{4}{3}$x-8=0，
∴x=6，
∴点N坐标（6，0），
∵CN∥PB，
∴$\frac{OP}{OC}$=$\frac{OB}{ON}$，
∴$\frac{-m}{8}$=$\frac{8}{6}$，
∴m=-$\frac{32}{3}$．
③OP=PQ时，显然不可能，理由，
∵D（6，-8），
∴∠1＜∠BOD，
∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，
∴∠PQO＞∠1，
∴OP≠PQ，
综上所述，当m=-$\frac{8}{3}$或-$\frac{32}{3}$时，△OPQ是等腰三角形．
点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
高中必刷题系列答案
在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边上一点，求证：BD2+CD2=2AD2．
如图，在直角三角形ABC中，∠A=90°，DE是BC边上的垂直平分线，CE恰好是∠ACB的平分线，则：
如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=2，则△A6B6A7的边长为64．