Question

7．如图，在直角三角形ABC中，∠A=90°，DE是BC边上的垂直平分线，CE恰好是∠ACB的平分线，则：
（1）∠B等于多少？
（2）若DE=4，且DE：CE=1：2，则S_△ABC等于多少？

Answer 1

分析 （1）根据已知求出∠ACE=∠BCE，CE=BE，求出∠B=∠ECB=∠ACE，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）求出AE、BE，求出AB，解直角三角形求出AC，根据三角形面积公式求出即可．

解答 解：（1）∵在直角三角形ABC中，∠A=90°，DE是BC边上的垂直平分线，CE恰好是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=∠BCE，CE=BE，
∴∠B=∠ECB=∠ACE，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°；

（2）∵在直角三角形ABC中，∠A=90°，DE是BC边上的垂直平分线，CE恰好是∠ACB的平分线，
∴AE=DE，∠CDE=90°，CE=BE，
∵DE：CE=1：2，DE=4，
∴CE=BE=2DE=8，AE=4，
∴AB=12，
∵∠B=30°，
∴BC=2AC，
∴AC=$\frac{12}{\sqrt{3}}$=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}×AB×AC$=$\frac{1}{2}×12×4\sqrt{3}$=24$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．