Question

已知抛物线的顶点为P，与轴交于点A，与直线OP交于点B.
（Ⅰ）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且，求点M的坐标；
（Ⅲ）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥轴于点D.将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）依题意, , 解得b=-2.
将b=-2及点B(3, 6)的坐标代入抛物线解析式得
.
解得 c=3.
所以抛物线的解析式为.  
（Ⅱ）∵抛物线与y轴交于点A，
∴ A(0, 3).
∵ B(3, 6),
可得直线AB的解析式为.                 
设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N, 则N(x, x+3).
 
∴ .
∴.
解得 .                                         
∴点M的坐标为(1, 2) 或 (2, 3).                      
（Ⅲ）如图，由 PA="PO," OA="c," 可得.

∵抛物线的顶点坐标为 ,          
∴ .
∴ .              
∴ 抛物线,  A（0，），P（，）, D（,0）.
可得直线OP的解析式为.     
∵ 点B是抛物线
与直线的图象的交点，
令 .
解得.                  
可得点B的坐标为（-b，）. 
由平移后的抛物线经过点A, 可设平移后的抛物线解析式为.
将点D(，0)的坐标代入，得.
∴ 平移后的抛物线解析式为. 
令y="0," 即.
解得.
依题意, 点C的坐标为（-b，0）.    
∴ BC=.
∴ BC= OA.
又BC∥OA，
∴ 四边形OABC是平行四边形.
∵ ∠AOC=90°，
∴ 四边形OABC是矩形.      

解析