Question

12．我们知道（$\sqrt{13}$+3）（$\sqrt{13}$-3）=$（\sqrt{13}）^{2}$-3²=13-9=4，因此将$\frac{1}{\sqrt{13}+3}$的分子，分母同时乘以“$\sqrt{13}-3$”，分母变成了4，即$\frac{1}{\sqrt{13}+3}$=$\frac{\sqrt{13}-3}{（\sqrt{13}+3）（\sqrt{13}-3）}$=$\frac{\sqrt{13}-3}{4}$
根据上述材料，请化简，$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$$+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$+…$+\frac{1}{\sqrt{2011}+\sqrt{2013}}$$+\frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2015}}$．

Answer 1

分析 首先利用平方差进行分母有理化，然后提公因式-$\frac{1}{2}$，再把括号里面进行合并，进而可得答案．

解答 解：原式=$\frac{1-\sqrt{3}}{1-3}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3-5}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{5-7}$+…+$\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2013}}{2011-2013}$+$\frac{\sqrt{2013}-\sqrt{2015}}{2013-2015}$，
=$\frac{1-\sqrt{3}}{-2}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{-2}$+…+$\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2013}}{-2}$+$\frac{\sqrt{2013}-\sqrt{2015}}{-2}$，
=$-\frac{1}{2}$（1-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}-\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$-$\sqrt{7}$+…+$\sqrt{2011}$-$\sqrt{2013}$+$\sqrt{2013}$-$\sqrt{2015}$），
=-$\frac{1}{2}$（1-$\sqrt{2015}$），
=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2015}}{2}$．

点评 此题主要考查了分母有理化，关键是正确理解所给例题，利用平方差进行分母有理化．