Question

【题目】已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AO，垂足为点E，连接AD，点N是AD上一点，连接CN交AE于点F，延长CN交⊙O与点M，连接AM，MD．

(1)如图1，求证：∠AMC＝∠MCD+∠ADM；

(2)如图2，连接BC，过点A作AG⊥AD交⊙O与点G，求证：AG＝BC；

(3)如图3，在(2)的条件下，AN＝ND，延长CM至点K，MK＝2MN＝6，FE＝3，连接KA，GC，并延长KA，GC交于点H，求HG的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)HG＝．

【解析】

（1）连接AC，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AO，得，∠ADC=∠ACM+∠MCD，再由同弧所对的圆周角相等即可得证；

（2）根据等角的余角相等可得：∠ABC=∠BAG，再根据同圆中，相等的圆周角所对的弧相等可得：，易证结论；

（3）过点D作DR∥AE交CK于R，易证：△ANF≌△DNR（ASA），得到：AF=DR=6，再过点A作AT∥DM交CM于点T，求得TA=TM=MD=MK=6，过点O作OW⊥MD，连接OM，OD，OC，可求得FE=OE=3，OC=CF=OA=12，AK=AD=6，过点N作NL⊥AK于点L，设AL=a，通过构建方程求a，可求得：sin∠HAG=sin∠LNA=，最后过点H作HQ⊥AG于点Q，设HA=8b，HQ=7b，构建方程即可得解．

(1)证明：如图1，连接AC，

∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AO

∴

∴∠ADC＝∠ACD，即∠ADC＝∠ACM+∠MCD

∵，

∴∠ACM＝∠ADM，∠ADC＝∠AMC

∴∠AMC＝∠ADM+∠MCD

(2)证明：∵CD⊥AO

∴∠AED＝90°

∴∠BAD+∠ADC＝90°

∵∠ADC＝∠ABC

∴∠BAD+∠ABC＝90°

∵∠BAD+∠BAG＝90°

∴∠ABC＝∠BAG

∴

∴,即：

∴AG＝BC

(3)如图3，过点D作DR∥AE交CK于R，

∴

∵AB为直径，CD⊥AO

∴CE＝DE

∴CF＝FR

∴DR＝2EF＝2×3＝6

∵DR∥AE

∴∠FAN＝∠RDN

∵AN＝ND，∠ANF＝∠DNR

∴△ANF≌△DNR(ASA)

∴AF＝DR＝6

过点A作AT∥DM交CM于点T，∴∠TAN＝∠MDN，

∵AN＝ND，∠ANT＝∠DNM

∴△ANT≌△DNM(ASA)

∴TA＝MD，TN＝MN

∵2MN＝MK

∴2TN＝2MN＝TM＝MK＝6

∵

∴∠MAD＝∠MCD

∵∠AMC＝∠ADM+∠MCD

∴∠AMC＝∠TAN+∠MAD＝∠TAM

∴TA＝TM＝MD＝MK＝6

过点O作OW⊥MD，连接OM，OD，OC，∵OM＝OD

∴MW＝DW＝MD＝3，∠MOW＝∠DOW＝∠MOD

∴FE＝MW＝3

∵

∴2∠DCM＝∠MOD

∴∠MCD＝∠MOW＝∠DOW

∵∠FEC＝∠MWO＝90°

∴△FEC≌△MWO(AAS)

∴OM＝CF＝OC

∴FE＝OE＝3，OC＝CF＝OA＝3+3+6＝12

在Rt△CEF中，，

在Rt△AED中，，

在Rt△BCE中，，

∵∠AMD＝180°﹣∠MDA﹣∠MAD＝180°﹣∠AMC＝∠AMK，AM＝AM，MD＝MK

∴△AMD≌△AMK(SAS)

∴AK＝AD＝6

过点N作NL⊥AK于点L，则∠ALN＝90°，设AL＝a，LK＝6﹣a，

∵AN＝ND＝AD＝3，NK＝3+6＝9，NL2＝AN2﹣AL2＝NK2﹣KL2，

∴，解得：，

∵∠GAD＝90°，∠LAN+∠LNA＝90°＝∠LAN+∠HAG

∴∠HAG＝∠LNA

∴，

过点H作HQ⊥AG于点Q，

设HA＝8b，HQ＝7b，则，

∵AG＝BC＝6，

∴QG＝6﹣b

∵∠AGC＝∠ABC

∴tan∠AGC＝tan∠ABC

∴，解得：b＝，

∴．