题目内容
17．任意写一个个位数字不为零的四位正整数A，将该正整数A的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B，则称A和B为一对四位回文数．例如A=2016，B=6102，则A和B就是一对四位回文数，现将A的回文数B从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾，在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A的回文数B作三位数的和．例如将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261，它们的和为：610+102+26+261=999，把999称为2016的回文数作三位数的和．（1）请直接写出一对四位回文数：猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？并说明理由；
（2）已知一个四位正整数$\overline{1x1y}$（千位数字为1，百位数字为x且0≤x≤9，十位数字为1，个位数字为y且0≤y≤9）的回文数作三位数的和能被27整除，请求出x与y的数量关系．
分析 根据回文数的概念、根据整式的混合运算法则解答即可．
解答 解：（1）一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除．
例如A=1234和B=4321是一对四位回文数，
设一个4位数为$\overline{ABCD}$（A，B，C，D为整数），则这个数的回文数为$\overline{DCBA}$，
则由题知这个回文数作三位数的和为$\overline{DCB}$+$\overline{CBA}$+$\overline{BAD}$+$\overline{ADC}$=111（A+B+C+D），
∵A，B，C，D为整数，
∴A+B+C+D为整数，
∴一个四位正整数的回文数作三位数的和能被111整除；
（2）正整数$\overline{1x1y}$的回文数是y1x1，
则回文数作三位数的和为：100y+10+x+100+10x+1+100x+10+y+100+10y+1=100x+100y+222=111（x+y+2），
由题意得，x+y+2=9或x+y+2=18，
则x+y=7或x+y=16．
点评 本题考查的是回文数的定义、整式的混合运算，掌握新定义、灵活运用整式的混合运算法则是解题的关键．
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| A． | 544 | B． | 144 | C． | 104 | D． | 404 |