Question

如图，平面直角坐标系中，直线y=

1

3

x+

1

3

与x轴交于点A，与双曲线y=

k

x

在第一象限内交于点B，BC⊥x轴于点C，OC=3AO．
（1）求双曲线的解析式；
（2）直接写出不等式

k

x

＞

1

3

x+

1

3

的解集．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据已知求得B点的横坐标，将横坐标代入直线解析式中求出B点的坐标，把B点坐标代入双曲线y=

k

x

即可求得k的值，从而确定出反比例解析式．（2）根据一次函数与反比例函数的两交点的横坐标，以及0，将x轴分为四个范围，找出反比例图象在一次函数图象上方时x的范围即可．

解答：解：（1）∵直线y=

1

3

x+

1

3

与x轴交于点A
∴A（-1，0），OA=1；
∵OC=3AO；
∴OC=3，B点的横坐标为3；
把B点的横坐标为3代入直线y=

1

3

x+

1

3

中，
解得y=

4

3

，
∴B（3，

4

3

），
点B在双曲线y=

k

x

上，
∴

4

3

=

k

3

，
解得k=4，
∴双曲线的解析式为：y=

4

x

．

（2）解

y= 1 3 x+ 1 3 y= 4 x

得x=3或-4；
由图象可知：当0＜x＜3或x＜-4时，满足不等式

k

x

＞

1

3

x+

1

3

，
∴不等式

k

x

＞

1

3

x+

1

3

的解集为：0＜x＜3时或x＜-4．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了待定系数法及数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．