Question

8．设a，b是整数，方程x²+ax+b=0的一个根是$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$，则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$的值为-2．

Answer 1

分析 方程的一个根是x=$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$，代入方程，由a，b是整数，列出关于a，b的方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而即可求出代数式的值．

解答 解：把x=$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$代入方程有：
（$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$）²+a（$\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}$）+b=0，
4-2$\sqrt{3}$+（$\sqrt{3}$-1）a+b=（a-2）$\sqrt{3}$+4-a+b=0．
∵a，b是整数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2=0}\\{4-a+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$=$\frac{{2}^{2}+（-2）^{2}}{2×（-2）}$=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，根据二次根式的性质化简，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可求解．