Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程kx²+（k+2）x+

k

4

=0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，

1

x1

+

1

x2

=0成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（k+2）²-4×k×

k

4

≥0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁x₂=

1

4

，由于

1

x1

+

1

x2

=0，则

- k+2 k

1 4

=0，解得k=-2，然后根据k的值是否满足（1）的范围确定是否存在．

解答： 解：（1）根据题意得k≠0且△=（k+2）²-4×k×

k

4

≥0，
解得k≥-1且k≠0；

（2）不存在．
根据题意得x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁x₂=

1

4

，
∵

1

x1

+

1

x2

=0，
∴

- k+2 k

1 4

=0，解得k=-2，
而k≥-1且k≠0，
∴不存在实数k，使

1

x1

+

1

x2

=0成立．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．