Question

8．已知关于x的方程x²+（2k-1）x+k²-1=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x₁，x₂满足x₁²+x₂²=16+x₁x₂，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=-4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x₁+x₂=1-2k、x₁•x₂=k²-1，将其代入x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=16+x₁•x₂中，解之即可得出k的值．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²+（2k-1）x+k²-1=0有两个实数根x₁，x₂，
∴△=（2k-1）²-4（k²-1）=-4k+5≥0，
解得：k≤$\frac{5}{4}$，
∴实数k的取值范围为k≤$\frac{5}{4}$．

（2）∵关于x的方程x²+（2k-1）x+k²-1=0有两个实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=1-2k，x₁•x₂=k²-1．
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=16+x₁•x₂，
∴（1-2k）²-2×（k²-1）=16+（k²-1），即k²-4k-12=0，
解得：k=-2或k=6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为-2．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=-4k+5≥0；（2）根据根与系数的关系结合x₁²+x₂²=16+x₁x₂，找出关于k的一元二次方程．