Question

19．已知关于x的一元二次方程x²-6x+m+4=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）若x₁，x₂满足3x₁=|x₂|+2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=20-4m≥0，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得x₁+x₂=6①、x₁•x₂=m+4②，分x₂≥0和x₂＜0可找出3x₁=x₂+2③或3x₁=-x₂+2④，联立①③或①④求出x₁、x₂的值，进而可求出m的值．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-6x+m+4=0有两个实数根x₁，x₂，
∴△=（-6）²-4（m+4）=20-4m≥0，
解得：m≤5，
∴m的取值范围为m≤5．

（2）∵关于x的一元二次方程x²-6x+m+4=0有两个实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=6①，x₁•x₂=m+4②．
∵3x₁=|x₂|+2，
当x₂≥0时，有3x₁=x₂+2③，
联立①③解得：x₁=2，x₂=4，
∴8=m+4，m=4；
当x₂＜0时，有3x₁=-x₂+2④，
联立①④解得：x₁=-2，x₂=8（不合题意，舍去）．
∴符合条件的m的值为4．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=20-4m≥0；（2）分x₂≥0和x₂＜0两种情况求出x₁、x₂的值．