Question

19．如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，点O为对角线AC的中点，⊙O
半径为1，点P为CD边上一动点，PE与⊙O相切于点E，则PE的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接BD交AC于O，连接OE、OP．易知PE=$\sqrt{O{P}^{2}-O{E}^{2}}$，因为OE=1，所以OP最小时，PE最小，求出OP的最小值即可解决问题．

解答 解：连接BD交AC于O，连接OE、OP．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∵∠B=60°，
∴∠ODC=30°，
∵CD=AC=4，
∴OC=2，OD=2$\sqrt{3}$，
∵PE是切线，
∴OE⊥PE，
∴∠OEP=90°，
∴PE=$\sqrt{O{P}^{2}-O{E}^{2}}$，
∵OE=1，
∴OP最小时，PE最小，
当OP⊥CD时，OP=$\frac{OC•OD}{CD}$=$\frac{2×2\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
∴PE的最小值=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查菱形的性质、切线的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，所以中考常考题型．