Question

14．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．
（2）在（1）中的图中，若BC=4，∠A=30°，求弧DE的长．（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）过点C作AB的垂线，垂足为点D，然后以C点为圆心，CD为半径作圆即可；
（2）先根据切线的性质得∠ADC=90°，则利用互余可计算出∠B=∠ACD=60°，再在Rt△BCD中利用∠B的正弦可计算出BC•sinB=$2\sqrt{3}$，然后根据弧长公式求解．

解答 解：（1）所作⊙C，如图所示；


（2）∵⊙C切AB于点D，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=∠ACD=60°，
在Rt△BCD中，BC=4，sinB=$\frac{CD}{BC}$，
∴CD=BC•sinB=4×sin60°=$2\sqrt{3}$，
∴弧DE的长为$l=\frac{{60π•2\sqrt{3}}}{180}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}π$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质和弧长公式．