Question

【题目】如图，是等腰直角三角形，，点分别是边与的中点，是上一点，以为一直角边作等腰直角，且，若，则_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

取AB中点D，连接FD，根据等腰直角三角形的性质，由△ABC为等腰直角三角形得到AC=BC=，∠A=45°，再根据点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则AD=BD=4，DP=3，EF为△ABC的中位线，于是可判断△ADF为等腰直角三角形，得到∠FDA=45°，利用三角形中位线的性质得EF∥AB，EF=AB=4，根据平行线性质得∠EFP+∠DFP=45°；又由于△PQF为等腰直角三角形，则∠EFP+∠EFQ=45°，所以∠DFP=∠EFQ，然后根据有两组对应边成比例且夹角相等的三角形相似，得出△FDP∽△FEQ，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得．

解：取AB中点D，连结FD，D是AB的中点，

如图， ∵△ABC为等腰直角三角形，AB=8，PB=1， ∴AC=BC= ∠A=45°，

∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，AB=8，PB=1，

∴AD=BD=4，DP=DB-PB=4-1=3，EF、DF为△ABC的中位线，

∴EF∥AB，EF=AB=4，DF=BC=，∠EFP=∠FPD，

∴∠FDA=45°，

∴∠DFP+∠DPF=45°，

∵△PQF为等腰直角三角形，

∴∠PFE+∠EFQ=45°，

∴∠DFP=∠EFQ，

∵△PFQ是等腰直角三角形，

∴ ∴

∴△FDP∽△FEQ，

∴

故答案为：