Question

【题目】如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点在边上，过点、、作圆，交边或其延长线于，连接，，，设（）．

（1）求的值；

（2）若，求的值；

（3）若，求弧的长；

（4）若圆经过矩形的两个顶点时，直接写出的值．

（注：，，）

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）3或

【解析】

（1）由题意得∠FGE=∠ABE，根据锐角三角函数的定义可得出结论；

（2）连接EF，OE，证明Rt△BFG≌Rt△EFG（HL），得出BF=EF，由勾股定理得出x2=（6-x）2+32，解得．

（3）证明△ABE∽△EGF，得出，求出GF，EG，由锐角三角函数可求出∠FGE，由弧长公式可得出答案；

（4）分两种情况：①若圆O经过矩形的顶点C时，②若圆O经过矩形的顶点D时，过点G作GM⊥AD，垂足M落在AD的延长线，由勾股定理可求出答案．

（1）

∴，

∵，

∴

（2）连接EF，OE，

∵四边形是矩形，

∴，

∴是圆的直径，

∴，

在和中，，，

∴，

∴

在Rt△AEF中，∵EF2=AE2+AF2，

∴x2=（6-x）2+32，

解得

（3）∵BF=2，

∴AF=AB-BF=6-2=4，

∵AE=3，

∴，

∵，

∴

∵，，

∴

∴，

∴，

∴

∴

∴

∴

∴弧的长

（4）3或

①若圆经过矩形的顶点时，

∵，，

∴，

∵，

∴

又∵，

∴，∴

②若圆经过矩形的顶点时，过作，垂足落在的延长线上，

易得四边形是矩形，四边形是矩形，过作于，延长交于，

∴，，

∴

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．